电磁学基础

1. 静电场

1.1 电荷

库伦定律：$\vec F_{12}=k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}{\hat r_{12}}$。常把 $k$ 写成 $k=\dfrac 1{4\pi\varepsilon_0}$，$\varepsilon_0$ 为真空介电常数。

适用条件：

1. 真空。空气可以近似为真空。
2. 静止点电荷：电荷相对于观察者静止，且可以视作点电荷。
3. 距离不能太小：当距离缩小到原子核尺度时，需要从量子力学的角度去分析。

对于其它无限大均匀介质，可以使用绝对介电常数 $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$，也就是说，力会变为真空中的 $\frac 1{\varepsilon_r}$ 倍。因为在电场作用下，会产生极化屏蔽效应：分子中的电荷会形成极化电荷，产生一个与外电场方向相反的附加电场，使得点电荷之间的作用力减弱。

介质无限大的目的是消除边界效应，这里不作讨论。

在本节中不讨论非无限大、非均匀介质的情况。

1.2 电场 电势

电场强度 $\vec E=\dfrac {\vec F} {q_0}$ 是通过将带电量极小的点电荷 $q_0$ 放入电场中来定义的。由库伦定律，电荷 $Q$ 产生的电场 $\vec E=\dfrac 1{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}\hat r$。

对于连续带电体来说，有 $\d\vec E=\dfrac 1 {4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\d q}{r^2} \hat r$。

在开始接下来的讨论之前，我们介绍一下电势。

电势是一个标量，其建立在一个基础上：静电力是保守力，做功与路径无关。

电势能 $W$：实验电荷 $q_0$ 把电荷从 $a$ 点移动到 $b$ 点，$\displaystyle W_a-W_b=q_0\int_{a}^b \vec E \d \vec l$。

电势 $V$：只反映电场自身性质，$V_a=\dfrac {W_a}{q_0}$。

电压（电势差）：$\displaystyle V_{ab}=\int_{a}^b \vec E \d \vec l$。

如你所见，电势只有相对差值有意义。通常来讲零势点选择无穷远处，这样电势定义为 $V_{P}=\displaystyle\int_{P}^{\infty} \vec E \d \vec l$。工程中通常取大地为零势点。

点电荷的电势：

$$\begin{aligned} V(r)&=\int_{r}^{\infty}\frac{kQ}{l^2}\d l \\ &=\frac{kQ}{r} \end{aligned}$$

而众所周知，电场方向是电势下降的最快方向，因此 $\vec E=-\nabla V$。

电势相同的点连成的面叫等势面。电场线永远垂直于等势面。导体在静电平衡时，整个导体是等势体，即导体内部场强处处为零。导体表面是等势面。

电场每一点的能量密度为 $w = \frac 1 2 \varepsilon_0 E^2$。

1.2.1 电偶极子

电偶极子由一对等量（$q$）异号点电荷组成，对外不显净电荷，但能产生电场并受电场作用。

电偶极矩 $\vec p=q\cdot \vec l$，其中 $\vec l$的方向由负电荷指向正电荷。

首先是电场分布。当 $r\gg l$ 时，

电偶极子非常常见，比如

1.2.2 电荷连续分布的带电体

使用微元法。电荷元有三种表达方式：

• 体分布：$\rho=\dfrac{\d q}{\d V}$，
• 面分布：$\sigma=\dfrac{\d q}{\d S}$，
• 线分布：$\lambda = \dfrac{\d q}{\d l}$。

1.3 高斯定理

首先我们要介绍电通量，即电场强度穿过某个面积的“流量”。即 $\Phi_E=\vec E \cdot \vec A$。其中 $\vec A$为面积矢量，方向为法方向。因此垂直穿过时通量最大。

高斯定理说的是，对于封闭面，有：

$$\Phi_E=\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$

其中 $Q_{内}$ 代表封闭曲面内所包含的净电荷。$S$ 是我们选取的高斯面。

高斯定理有一些常见的结论，比如：

• 无限大平面的电场：取一个极小微元，有 $2\vec E S = \sigma S / \varepsilon_0$，因此 $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。

1.4 环路定理

在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分恒等于零。即：

$$\oint \vec E\cdot \d \vec l = 0$$

1.5 电介质 电位移矢量

当电场中有介质，会产生极化电荷。但是极化电荷很难测量和计算，因此我们引入电位移矢量 $\vec D=\varepsilon_0 \vec E+\vec P$

2. 稳恒磁场

我们在这里默认空间中所有电荷分布、电场分布都不随时间变化。

一个电荷 $q$ 在真空中以 $\vec v$运动，那么它产生的磁感应强度，$\mu_0$ 为真空磁导率：

$$\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\times \hat r}{r^2}$$

这里的 $\hat r$ 由电荷指向场点。

恒定电流可以产生稳恒磁场，由毕奥-萨伐尔定律：

$$\d \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I \d \vec l \times \hat r}{r^2}$$

2.1 安培环路定理

$$\oint_L \vec B\cdot \d \vec L = \mu_0 I_{内}$$

其中 $I_内$ 为穿过以 $L$ 为边界的任意曲面的稳恒传导电流的代数和。$I_内$ 的方向通过右手螺旋定则确定，右手螺旋为 $L$ 的方向，拇指就是 $I_内$ 的正方向。

常用结论：

• 无限长载流直导线：$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$。

2.2 磁场对运动电荷的作用

带电粒子会受到洛伦兹力 $\vec F_m = q\vec v\times \vec B$。

2.3 磁场对载流导体的作用

安培力本质上就是大量定向运动电荷所受洛伦兹力的宏观集体表现。

$$\vec F = \int_L I\d \vec l \times \vec B$$

磁矩 $\vec m = IS\hat n$，其中 $\hat n$ 的方向由右手螺旋定则确定。磁力矩 $\vec \tau = \vec m \times \vec B$。

3. 电磁感应

3.1 楞次定律

感应电流的方向，总是使得它自身产生的磁场，去阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

3.2 法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律只对闭合回路有效：

$$\mathcal E = -\frac{\d \Phi}{\d t}$$

但实际上电动势不是这么定义的，电动势等于非静电力 $\vec f$ 将单位正电荷从电源负极搬到正极所做的功。

我们定义 $\vec f$ 代表作用在单位正电荷上的静电力，那么 $\mathcal E = \displaystyle\int_a^b \vec f \cdot \d \vec l$。

开路时，电势差等于电动势，正负由非静电力方向决定。也就是说，$U_b - U_a = \mathcal E_{a\rightarrow b}$。

闭合回路时：

• 电源内部：非静电力把正电荷从低电势段推向高电势段，电势升高。
• 电源外部：电流从高电势流向低电势。

3.2.1 动生电动势

动生电动势：磁场恒定，导体运动导致回路面积或者形状变化，使得磁通量改变。

由于导体在磁场中运动，内部的电子受到洛伦兹力 $-e(\vec v\times \vec B)$ 作用，因此根据电动势定义：

$$\mathcal E = \int_a^b (\vec v\times \vec B)\cdot \d \vec l$$

最经典的问题就是导体在 U 型导轨上运动。

3.2.2 感生电动势

变化的磁场会产生涡旋电场，其电场线是闭合的，根据电动势的定义由涡旋电场力做功：

$$\mathcal E = \int_a^b \vec E\cdot \d \vec l$$