微积分 A2

0. 空间解析几何

学习空间解析集合可能有助于更好地理解多元函数微积分学（？）

空间直角坐标系有八个卦限，先是 $z>0$ 按照平面直角坐标系顺序的四个，然后是 $z<0$。

点积 / 内积：$\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta$。

叉积 / 外积：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \bm i & \bm j & \bm k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1 z_2 - z_1 y_2,\; z_1 x_2 - x_1 z_2,\; x_1 y_2 - y_1 x_2)$。

外积的模长等于 $|\vec a| |\vec b|\sin \theta$（也就是围成的平行四边形的面积）。方向垂直于 $\vec a,\vec b$张成的平面，具体方向由右手定则确定：食指旋转小于 $180^\circ$，拇指指向的方向即为 $\vec c$的方向。

张量积 / 并积 / 直积：$\vec u\otimes \vec v=\vec u\vec v^\top$。

方向余弦是指与坐标轴单位向量的夹角余弦。

向量的混合积 $[\bm a\bm b\bm c]=(\bm a\times \bm b)\cdot \bm c$，也就是 $\begin{vmatrix} x_3 & y_3 & z_3 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$，其绝对值代表平行六面体的面积。

0.0 球坐标

球坐标系以原点为参考点，球坐标 $P(r,\phi,\theta)$ 的极角（polar angle）$\phi$ 代表 $OP$ 与 $z$ 轴正半轴的夹角（$0\le \phi \le \pi）$，方位角 $\theta$ 为 $OP$ 在 $xy$ 平面上的投影与正 $x$ 轴的旋转角（$0\le \theta<2\pi$）。这样的话转成直角坐标，$x=r\cos\theta \sin\phi,y=\sin\theta\sin\phi,z=\cos\phi$。

0.1 平面方程

一般用点法式方程描述一个平面，法向量即为 $\vec n = (A,B,C)$。

三点式方程，本质先求法向量，然后与任意一条平面上的向量都垂直：

$$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$$

截距式方程：$\frac x a + \frac y b + \frac z c = 1$。

平面的夹角通过法向量求得 $\cos \theta$。点到平面的距离 $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{|\vec n|}$。

0.2 直线方程

空间直线由两个平面的夹线确定，方向向量 $\vec s = \vec n_1 \times \vec n_2$。

可以方便地用参数方程表示。

两点方程：$\displaystyle \frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}$。

两直线夹角可以求得 $\cos \varphi$，直线与平面夹角求得 $\sin \varphi$。

点 $P$ 到过 $P_0$ 的直线的距离 $d=\dfrac{|\overrightarrow{P_0 P}\times \vec s|}{|\vec s|}$。

两异面直线之间的距离：$d=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\vec s_1\times \vec s_2)|}{|\vec s_1\times \vec s_2|}$

0.3 曲面与曲线

已知曲线的切向量 $\mathbf T = (A,B,C)$，则切线方程：

$$\displaystyle \frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$$

法平面方程：

$$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$

已知曲面的法向量 $\mathbf N = (A,B,C)$，则法线方程：

$$\displaystyle \frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$$

切平面方程：

$$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$

观察二次曲面。

这里不记录退化的二次柱面。

• 椭球面：$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
• 单叶双曲面：$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• 双叶双曲面：$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$
• 椭圆抛物面：$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
• 双曲抛物面（马鞍面）：$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$
• 二次锥面：$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

0.4 例题选解

1. 多元函数微分学

在多元函数中，邻域泛指圆邻域和方邻域。任意一个点 $A\in \mathbb R^2$ 都可以被归类为 $E\sub \mathbb R^2$ 的内点、外点和界点。界点的集合称为边界，记作 $\partial E$。

如果 $E$ 中的每一个点都是内点，则 $E$ 为开集。若 $E$ 为连通的开集，那么 $E$ 称为 $\mathbb R^2$ 中的开区域，简称区域，$\overline E=E\cup \partial E$ 称作闭区域。

聚点：点 $A$ 的任意 $\mathring U(A)$ 内都含有 $E$ 中的点，则称 $A$ 为聚点，等价于任何 $U(A)$ 包含 $E$ 的无穷多个点。

孤立点：$A\in E$，但是 $A$ 不是聚点。比如 $E=\{(1,1)\}$，就只含有一个孤立点。

显然，孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点又不是孤立点一定是外点。

如果 $E$ 的所有聚点都属于 $E$，那么 $E$ 是闭集。可以证明，$E\sub \mathbb R^2$ 是开集，则 $E^c$ 是闭集，反之同理。

重极限：$f(P)$ 是定义在 $D$ 上的多元函数，设 $P_0$ 是 $D$ 的一个聚点，$\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,\ie P\in D\cap \mathring U(P_0,\delta),|f(P)-A|<\epsilon$，则 $\lim_{P\to P_0} f(P)=A$。

若重极限和所有累次极限都存在时，它们必然相等。

多元函数连续是多元函数关于单变量连续的充分不必要条件。

1.1 偏导数

偏导数的符号 $f_{x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 是一个整体，不能当作“微分算子”之类的东西进行约分之类的操作。

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 代表先对 $x$ 再对 $y$ 求偏导。若所有混合偏导数连续时，则调换偏导顺序不会对结果产生影响。

用 $C^i$ 表示 $i$ 阶偏导数存在且连续的函数。

偏导数可以在定义时钦定哪些变量被视为常量，即“冻结点”：

$$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,\,z} \quad\text{或}\quad \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{y,\,z}$$

括号外的下标 $y,z$ 意思是在这次求偏导过程中，变量 $y$ 和 $z$ 被“冻住”（当作常数）。最后再配上取值点：

$$\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0,z_0)}$$

在热力学、多变量优化等场景中，同一组物理量可能有多套独立变量。例如内能 $U$ 可以写成 $U(S,V)$，也可以写成 $U(T,V)$。
如果你只写 $\frac{\partial U}{\partial V}$，没人知道你是把 $S$ 冻住，还是把 $T$ 冻住——两种偏导结果完全不同。

“冻结点”下标就是用来显式声明这一次求导时，谁被当作常数：

$$\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_S \neq \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T$$

1.2 全微分

若全增量可以表示为 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，那么函数在 $(x_0,y_0)$ 可微，且 $\d z=A\Delta x+B\Delta y$。

二元函数在可微的必要不充分条件是函数连续且两个偏导存在，若可微则 $\displaystyle \d z=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \d x+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\d y$。

在一点偏导数连续是可微的充分不必要条件。也就是说，偏导数连续、可微、偏导数存在由强到弱，可微也可以推出连续，但连续和偏导数存在没关系。

$$\d^n z=\sum_{k=0}^n\binom n k \frac{\partial ^n z}{\partial^k x\partial ^{n-k}y}\d^k x \d^{n-k} y$$

1.3 复合函数微分

设函数 $z=f(u,v)$，其中 $u=\varphi(t),y=\psi(t)$，且 $u,v$ 在 $t$ 处可导，$z$ 在 $(u,v)$ 处可微，则：$\displaystyle \frac{\d z}{\d t} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac {\d u}{\d t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac {\d v}{\d t}$。其实这就是链式法则，换成别的函数也一样。

对于一阶全微分，具有形式不变性的特点：即 $z=f(u,v)$，不论 $u,v$ 是自变量还是函数，永远都有 $\displaystyle \d z = \frac{\partial f}{\partial u}\d u + \frac{\partial f}{\partial v}\d v$。

在求复合函数的微分时可能会混淆当前时什么函数对什么的偏导，最好用不同的符号区别开。

1.4 隐函数微分法

$(x_0,y_0)$ 处隐函数存在的条件在邻域内满足 $F\in C^1,F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)\ne 0$。

一个误区是以为隐函数不存在的原因是垂直于 $x$ 轴，但实际上还可以是因为交叉 $y^2=x^2(x+1)$，产生尖点奇点（$y^2=x^3$，如果以后进一步学习我会再来研究这个东西）等。

1.4.1 由方程式确定

比如 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$。

对 $F(x,y(x))=0$ 两边同时对 $x$ 求导，得到 $y'=-\dfrac{F_x}{F_y}$。

对于多元函数，比如 $F(x,y,z)=0$，等式两边求全微分得 $F_x \d x +F_y\d y+F_z\d z=0$。因此 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}$。

1.4.2 雅可比行列式

设一组 $n$ 个 $n$ 元函数：

$$\begin{cases} u_1 = f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ u_2 = f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ \quad \vdots \\ u_n = f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \end{cases}$$

我们有一组函数对其自变量的偏导行列式，即雅可比行列式：

$$\begin{aligned}\det J =\frac{\partial(f)}{\partial(x)} &= \frac{\partial(f_1, f_2, \dots, f_n)}{\partial(x_1, x_2, \dots, x_n)} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{vmatrix} \end{aligned}$$

1.4.3 由方程组确定

比如 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 确定 $u=u(x,y),v=v(x,y)$，那么隐函数存在的条件是 $F,G\in C^1$，然后类比方程，我们需要其针对因变量的导数不为零，即雅可比行列式不为零：

$$\begin{vmatrix} F_u &\ F_v \\ G_u &\ G_v \end{vmatrix} \ne 0$$

怎么求导呢？比如求 $u_x,v_x$，等式两边同时对 $x$ 求导：

$$\begin{cases} F_x \cdot 1 + F_u \cdot u_x + F_v \cdot v_x = 0, \\ G_x \cdot 1 + G_u \cdot u_x + G_v \cdot v_x = 0 \end{cases}$$

使用线性代数的手段解线性方程组即可，但对于微积分来说更可能是直接消元。

1.4.4 雅可比行列式的性质

1.5 方向导数和梯度

$\bm e_l=(\cos \alpha,\cos\beta)$ 方向的方向导数定义为 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$，当函数在 $(x_0,y_0)$ 可微时，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$。

二元函数的梯度定义为 $\operatorname{grad} f=\nabla f=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$。

因此不难发现，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=\nabla f\cdot \bm e_l=|\nabla f|\cos \theta$，因此方向导数的最大值为梯度方向。

1.6 几何应用

分别是曲线和曲面。

如果用参数方程给出曲线，那么切向量就是导向量。否则，是两平面梯度的叉积。

曲面 $z=f(x,y)$ 的法向量易知是 $(f_x,f_y,-1)$，如果是隐函数，那么：

$$\text{法向量} \parallel \left( -\frac{F_x}{F_z},\; -\frac{F_y}{F_z},\; -1 \right) \parallel (F_x, F_y, F_z) = \nabla F$$

因此直接求梯度即可。

1.7 Taylor 公式

$$f(x,y) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \, \mathrm{d}^k f\big|_{(x_0,y_0)}^{\mathrm{d}x = \Delta x,\;\mathrm{d}y = \Delta y} + R_{n+1}$$

其中 $\Delta x = x-x_0$, $\Delta y = y-y_0$，
全微分算子 $\mathrm{d}^k f = \left( \mathrm{d}x\,\frac{\partial}{\partial x} + \mathrm{d}y\,\frac{\partial}{\partial y} \right)^k f$。

Lagrange 余项：

$$R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}\, \mathrm{d}^{n+1} f\big|_{(\xi,\eta)}^{\mathrm{d}x = \Delta x,\;\mathrm{d}y = \Delta y}$$

其中 $(\xi,\eta) = (x_0 + \theta\Delta x,\; y_0 + \theta\Delta y)$，$\theta \in (0,1)$。

Peano 余项：

$$R_{n+1} = o(\rho^n), \quad \rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \to 0$$

1.8 极值问题

首先是无条件极值，设 $z=f(x,y)$ 在某邻域内为 $C^2$ 函数，则偏导数全部为 $0$ 的点称为驻点。这是极值点的必要条件，可能有三种情况：

1. 极小值
2. 极大值
3. 鞍点（比如前后上山，左右下山）

对于二元函数，令 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$，若 $\Delta < 0$ 则为鞍点，$f_{xx}>0,\Delta >0$ 则为极小值，$f_{xx}<0,\Delta >0$ 则为极大值。

对于条件极值问题，采用拉格朗日数乘法。比如有 $g(x,y)=0$，求 $z=f(x,y)$ 的极值。

构造 $L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$，令 $\nabla L = \mathbf 0$，结出候选点 $(x_0,y_0,\lambda_0)$。

令 $g_x\d x +g_y\d y=0$，然后求 $\d^2 f$，看 $\d x^2$ 的系数，为正则极小，为负则极大，为零则是鞍点。

2. 重积分

2.1 二重积分

和一元定积分一样，二重积分也是通过黎曼和去定义的。即：

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \lim_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i$$

2.2 在直角坐标系下计算

$x$ 型域：所有平行于 $y$ 轴的直线最多不穿过 $D$ 的边界两次。
$y$ 型域：所有平行于 $x$ 轴的直线最多不穿过 $D$ 的边界两次。

否则可以分割原图形。

2.3 换元与极坐标

和一元函数积分一样，我们依然可以使用换元法，替换 $\begin{cases}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\end{cases}$，要求是 $x(u,v),y(u,v)$ 在 $D'$ 上是 $C^1$ 类函数，在 $D'$ 上雅可比行列式至少不恒为 $0$^[1]，则：

$$\iint_D f(x,y)\,\d x\d y = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) \cdot \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \, \d u \d v$$

注意一个特别的事情，我们对导数求绝对值了！这是因为二重积分的区域没有“积分方向”这一概念。

最经典的是极坐标换元，即令 $x=r\cos \theta,y=r\sin \theta$，其中强制钦定 $r\ge 0$，因此 $\d x\d y=r\d r \d \theta$。

2.4 三重积分

三重积分的特殊换元有两个：

• 柱坐标 $(r,\theta,z)$，雅可比行列式为 $r$。
• 球坐标 $(r,\theta,\phi)$，雅可比行列式为 $r^2 \sin \phi$。

点火公式（Wallis 积分）在微积分 A1 中出现过，这个公式在重积分计算时非常常见。

$$\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, \d x = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, \d x = \begin{cases} \displaystyle \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\[8pt] \displaystyle \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{ 为奇数} \end{cases}$$

如果积分区间是 $[0,\pi]$，考虑对称性。积分区间是 $[0,2\pi]$，

3. 含参积分与广义积分

其实非常有意思的。

3.1 含参积分

比如说 $F(\alpha)=\int_{a}^b f(x,\alpha)\d x$，积出来的就是一个关于 $\alpha$ 的函数。如果 $f$ 在 $[a,b]\times [c,d]$ 上连续，那么 $F(\alpha)$ 在 $[c,d]$ 上连续。

对 $F$ 求导，因为定积分本质是黎曼和，所以可以视作 $f$ 对 $\alpha$ 求偏导。一般地，有：

$$F'(\alpha) = f\big(b(\alpha),\alpha\big) \cdot b'(\alpha) - f\big(a(\alpha),\alpha\big) \cdot a'(\alpha) + \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha) \d x$$

对于含参广义积分来说，敛散性可能与 $\alpha$ 有关。因此我们定义一致收敛，即：

$$\lim_{b\to+\infty} \int_b^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx = 0 \quad \text{对 } \alpha\in I \text{ 一致地成立}$$

3.2 广义积分

3.3 T 函数与 B 函数

Gamma 函数，即第二类 Euler 积分：

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1} e^{-x}\d x, s>0$$

我们有 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$，由分部积分公式可得。

特殊值：$\Gamma(1)=1,\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$。

B 函数即第二类 Euler 积分，有：

$$B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} \d x,p>0,q>0$$

而且 $B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$。

4. 曲线积分

4.1 第一类曲线积分

即求标量沿曲线的积累量，形如 $\displaystyle\int_L f(x,y)\d s$，用黎曼和的形式去定义。比如求质量。

直接将弧微分写出来，用关于 $t$ 的参数方程表示曲线 $L$，然后写出 $f$，积分即可。

4.2 第二类曲线积分

即求变力沿着曲线的做功。

5. 级数