高等数学：抽象代数

二元运算是 $G\times G\rightarrow G$ 的函数 $\star(a,b)$ 。类似的可以定义 $n$ 元运算。

交换律
结合律
幂等律： $a\star a=a$ $a ⋆ a = a$ 。这里称 $a$ $a$ 是关于 $\star$ $⋆$ 的幂等元，所有元素都是幂等元则 $\star$ $⋆$ 满足幂等律。
- 只有满足结合律才存在幂运算。
分配律：必须同时满足左分配和右分配
吸收率： $a*(a+b)=a,a+(a*b)=a$ ，则称 $+,*$ 满足吸收率。
消去律

一个集合和若干运算就可以构成代数系统。

1. 群

1.1 基本公理

$(G,\star)$ ，满足结合律得到半群（semigroup），存在单位元（显然，只要存在那么只能有一个）且每个元素都存在逆元的到群。满足交换律得到 Abel 群，此时一般记作 $(G,+)$ 。不难发现单位元和逆元都是唯一的。群的元素的个数称为群的阶 $|G|$ 。

证明：可以简化为左单位元和左逆。

设 $ba=e,cb=e$ ，则 $ab=e(ab)=cbab=cb=e$ ，因此 $b$ 同时是右逆。

$ae=a(ba)=ea=a$ ，因此 $e$ 同时是右单位元。

性质： $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ 。

最小的正整数 $n$ 满足 $x^n=1$ 称为 $x$ 的阶（order），记为 $|x|$ 。当 $G$ 为无限群时，可能会 $|x|=\infty$ 。

证明：设 $G$ 为有限群，则所有 $x\in G$ 都有阶。

考虑 $a\in G$ 的幂序列 $a^0,\cdots,a^m$ ，但是 $|G|=m$ ，因此存在 $a^r=a^s,r<s$ 。则 $a^{s-r}=a^0$ 。于是得到了这个阶。

可除条件是另一种刻画群的方式，半群 $(G,\star)$ 中左可除为方程 $a\star x=b$ 有唯一解，右可除为 $y\star a=b$ 有唯一解，然后就可以得到群。必要性易证，解方程 $ya=a$ 可以得到 $ea=a$ ，固定该 $a$ ，那么 $\forall b\in G,ax=b$ ， $eb=eax=ax=b$ ，因此 $e$ 是左幺元，而 $ya=e$ 可以得到每个元素都有左逆。

拟群

拟群（quasigroup）不要求结合律，它只要求可除条件。

如果有单位元，那么它是幺拟群，或者是圈（loop）。

拟群和拉丁方是一一对应的，即在 $a\star b$ 的乘法表中，每行每列都是一个排列。就是说当确定一个 $a$ 时， $x\mapsto a\star x$ 和 $x\mapsto x\star a$ 都是双射。

设 $H$ 为群 $G$ 的非空子集，若 $(H,\star)$ 也构成群，那么 $H$ 被称为 $G$ 的子群。不难发现我们只需要检查封闭性即可判定子群。

设 $G$ 是一个群， $S\subseteq G$ 。包含 $S$ 的最小子群称为由 $S$ 生成的子群 $\langle S\rangle$ 。其得到的方式是由 $S$ 中的元素和其逆元有限相乘得到的。强调有限的原因是群并没有定义无限乘积的收敛，即使 $(\mathbb Z,+)$ 由 $\{1\}$ 生成，但是每个整数都是有大小的，无限个 $1$ 加起来得到的东西是发散的不是一个数更不是一个整数。

证明：若 $G$ 是有限群，则 $\langle S\rangle =\{\prod_{i=1}^n s_i\mid n\ge 0,s_i\in S\}$ 。

设 $H=\{\prod_{i=1}^n s_i\mid n\ge 0,s_i\in S\}$ ，显然 $S\subseteq H,e\in H$ 。因此 $H$ 对乘法封闭。想要证明其是子群只需要证明其对取逆封闭。

由于有限群所有元素都有阶，因此 $s_i^{-1}=s_i^{m_i-1}\in H$ 。所以 $H$ 是 $G$ 的子群，而 $H$ 是包含 $S$ 的子群，因此 $\langle S\rangle S\subseteq H$ 。

而 $\langle S\rangle$ 对于乘法封闭，所以对于任意 $s=s_1\cdots s_n\in H$ 都有 $s\in \langle S\rangle S$ ，因此 $H\in \langle S\rangle$ 。

综上 $H=\langle S\rangle S$ 。

若 $\langle S\rangle=G$ ，那么 $S$ 是 $G$ 的一个生成元集，其中的元素称为生成元。若 $G=\langle a\rangle$ ，则 $G$ 是循环群（Cyclic Group）。

由集合直积的定义，我们容易定义群的直积。

1.2 二面体群

二面体群（dihedral group） $D_{2n}$ 描述的是正 $n$ 边形的对称性，由正 $n$ 边形绕中心旋转 $0,\cdots,\frac{2(n-1)}n\pi$ ，关于 $n$ 条对称轴对称。即：

$D_{2n}=\langle r,s\mid r^n=e,s^2=e,srs=r^{-1}\rangle$

像二面体群这样，用生成元和一些 relation $R_1,R_2,\cdots,R_m$ ，描述一个群，写作 $G=\langle S\mid R_1,R_2,\cdots, R_m\rangle$ 。 $R$ 即一些等于单位元的词。

这样的方法称为 $G$ 的 representation（表现），可以唯一确定群 $G$ ，任何其它满足这些关系的群一定满足某些无法由这些关系推出的其它关系，即 $G$ 是满足这些关系的最大的群。

一个群的表现显然不是唯一的。

1.3 对称群

设 $X$ 是任意非空集合，令 $S_X=\{f\mid X\to X ~ \text{为双射}\}$ ， $S_X$ 在映射的复合下构成一个群，称为对称群（symmetric group），每个元素称为置换。当 $X=\{1,\cdots,n\}$ 时，记为 $S_n$ 。当 $n\ge 3$ 时对称群不再是 Abel 群。

置换可以用 $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}$ 来表示，但更常用的是循环记法（轮换表示法），即用一个括号描述一个置换环。这样可以得到一个置换的轮换分解。

置换的乘法按照复合函数理解，即从右向左。根据定义 $\sigma^{-1}$ 是把像映射到原像，因此，置换的逆元是其倒过来。

长度为 $2$ 的循环叫做对换，任意循环都可以写成对换的乘积，即 $(a_1\ a_2\ a_3\ \cdots\ a_k)=(a_1\ a_k)\cdots(a_1\ a_3)(a_1\ a_2)$ 。

1.4 四元数群

设 $V$ 是 $\mathbb R$ 上的 $n$ 维线性空间，

1.5 子群

这一节我们讨论常见的子群。

设 $G$ 是一个群， $A$ 是 $G$ 的一个非空子集，我们称集合 $C_G(A)=\{g\in G\mid gag^{-1}=a,\forall a\in A\}$ 为 $A$ 在 $G$ 中的中心化子。当 $A=G$ 时得到中心 $Z_G$ 。

说人话就是 $A$ 的中心化子即为 $G$ 中和 $A$ 中所有元素都可交换的元素组成的集合（因为实际相当于 $ga=ag$ ）。

显然 $Z_G$ 是 Abel 群，因为 $g\in Z_G$ 对所有的 $a\in G$ 都满足交换律。

而我们定义 $N_G(A)=\{g\in G\mid gAg^{-1}=A\}$ 为 $A$ 在 $G$ 中的正规化子。

证明： $C_G(A)$ 是 $N_G(A)$ 的子群。

先证 $N_G(A)$ 的封闭性，对乘法封闭易证，对求逆封闭等式两边同乘即可。

中心化子一定是正规化子，因此只需要证明 $C_G(A)$ 封闭，基本同理。

1.6 循环群

这一节我们讨论循环群的性质。

循环群是最简单的一类 Abel 群，显然。

证明： $G=\langle g\rangle, H\subseteq G$ ，则存在非负整数 $n$ 使得 $H=\langle g^n\rangle$ 。

抽象代数