实变函数

我们回顾一元函数黎曼积分：

一元函数黎曼积分可以这样回顾：

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。取分割 $P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \|P\|=\max_i\Delta x_i$。在每个小区间任取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作黎曼和：

$$S(f,P,\xi)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$

若存在实数 $I$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，只要 $\|P\|<\delta$，任意取点 $\xi_i$，都有 $|S(f,P,\xi)-I|<\varepsilon$，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，记 $I=\displaystyle\int_a^b f(x)\d x$。

这里注意到一个问题，黎曼积分的思想依赖函数“几乎处处连续”，其本质是把函数值利用夹逼定理夹出来，如果这个函数非常不连续（狄利克雷函数等），你就无法找到一个划分，使得这段区间的函数值趋于一个相同的值了。

但是我们为什么一定要用 $\Delta x_i$ 作为底边呢？如果用 $\Delta y_i$ 作为底边，考虑狄利克雷函数，取 $1$ 的定义域是 $\mathbb Q$，我们需要考虑定义域的长度，但是集合的长度是什么？我们需要重新制定一套方法，即“测度”。

1. 集合

1.1 集合列

固定一个全集 $X$，如果对于每个 $n\in \mathbb N^*$，集合列记作 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ 或 $\{A_n\}$，也就是说，是映射 $\mathbb N^*\rightarrow \mathcal P(X)$。

我们常研究集合列的上极限，即 $x$ 属于无穷多个 $A_n$，即“无论从哪一项开始往后看，总能找到一个 $x$”：

$$\limsup_{n\to\infty}A_n =\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}A_n$$

下极限即 $x$ 在 $n$ 充分大以后一直属于 $A_n$，即：

$$\liminf_{n\to\infty}A_n =\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n$$

当上下极限相等时，称集合列收敛。发现其含义是 $x$ 是否属于 $A_n$ 最终会稳定下来。

如果 $A_n\subset A_{n+1}$ 即 $A_n\uparrow$ 或者倒过来得到 $A_n\downarrow$，那么得到单调集列。根据定义可以得到单调集列收敛。

开区间的性质不是很好，我们将其转化为闭区间，证明：

$$(a,b)=\bigcup_{n=1}^\infty \left[a+\frac 1 n,b-\frac 1 n\right].$$

右边包含于左边是容易的。

任取 $x\in(a,b)$，我们要找到一个 $n$ 使得：

$$a+\frac 1 n\le x\le b-\frac 1 n$$

即：

$$n\ge \max\left\{\frac 1 {x-a},\frac 1 {b-x} \right\}$$

所以我们总能找到这个 $n$。

1.2 对等与基数

对于无限集，$|A|\le |B|$ 即存在单射 $A\rightarrow B$。

基数三分律：对于任意两个集合 $|A|,|B|$，$|A|<|B|,|A|=|B|,|A|>|B|$ 一定有一个成立。但这件事情不好做，它需要选择公理。

需要会的是证明至多只有一个成立。首先 $|A| < |B|$ 不会和 $|A| = |B|$ 同时成立，因为就是这么定义出来的。

也就是说，接下来的任务是证明 Cantor-Bernstein 定理：存在单射 $A\rightarrow B,B\rightarrow A$，则一定存在双射 $A\rightarrow B$。

1.3 可数集合

2. 点集

3. 测度论

4. 可测函数

5. 积分论

6. 微分与不定积分